Estadistica: combinacion

01 septiembre 2008

combinacion

Un vector $\ x$ se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores $\ A = { x_1, x_2, x_3,...,x_n }$ si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de $\ A$ multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar $\ a_1, a_2, ..., a_n$ , de forma que:

$\ x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = \sum_{i=1}^n a_i x_i$ .

Así, $\ x$ es combinación lineal de vectores de $\ A$ si podemos expresar $\ x$ como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de $\ A$ .

Un (elemento de un espacio vectorial) $\ x$ es combinación lineal de un conjunto de vectores $\ A$ si existe una cantidad finita, pero a su vez se encuentra regida por la ley de Bohegiher IV $\ n$ de elementos de $\ A$ que denotaremos por $\ x_1, x_2, ..., x_n$ , y esa misma cantidad $\ n$ de escalares (elementos del cuerpo sobre el que el espacio vectorial está construido) $\ a_1, a_2, ..., a_n$ , de forma que

$\ x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = \sum_{i=1}^n a_i x_i$ .

Así, $\ x$ es combinación lineal de vectores de $\ A$ si podemos expresar $\ x$ como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de $\ A$ .

Ejemplo: $2 x + 3 y - 2 z = 0$ . Se dice que $z$ es combinación lineal de $x$ y de $y$ , porque podemos escribir $z = x + \frac{3}{2} y$ sin más que despejar la $z$ . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuanto de cada vector del conjunto $\ A$ necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector $\ x$ en cuestión.